Obliczenie średniej arytmetycznej to czasem za mało. Co z tego, że znamy średnie wynagrodzenie w firmie, skoro nie wiemy jaka jest zmienność wynagrodzenia? Czy wszyscy pracownicy dostają dokładnie tyle samo? A może kierownik zawyża wartość średniej pensji? Zapraszam do lektury tekstu o odchyleniu standardowym.
Odchylenie standardowe mówi o tym, o ile średnio odchylają się wartości badanej cechy od średniej arytmetycznej. Brzmi trochę jak masło maślane, prawda? Średnio od średniej? Zaraz opowiem.
Znacie już różne średnie: arytmetyczną, harmoniczną i geometryczną. I tu taki psikus - odchylenie standardowe nie jest liczone za pomocą którejkolwiek z tych średnich. Używa się zupełnie innej - średniej kwadratowej. Średnia kwadratowa to średnia potęgowa stopnia 2 (średnia harmoniczna to -1 stopnia, geometryczna to 0 stopnia, arytmetyczna to 1 stopnia). I ta właśnie średnia jest potrzebna, żeby obliczyć odchylenie standardowe. A jak to robimy? Zaraz wszystko opiszę i pokażę przykłady.
Na początku obliczamy średnią arytmetyczną - będzie nam za chwilę potrzebna. Potem po kolei obliczamy różnicę między wartością cechy każdej zaobserwowanej jednostki, a średnią arytmetyczną. Następnie każdą z różnic podnosimy do kwadratu i wszystko sumujemy ze sobą. Na koniec dzielimy przez liczbę obserwacji i wyciągamy pierwiastek drugiego stopnia z otrzymanego wyniku.
Odchylenie standardowe jest klasyczną miarą zmienności rozkładu. Załóżmy najprostszy przykład - mamy 3 liczby: 1, 2 i 3. Średnia arytmetyczna tych trzech liczb to 2 (liczona wzorem: \(\frac{1+2+3}{3}\)).
Jeśli współczynnik zmienności waha się w przedziale 0-20%, to zróżnicowanie populacji jest małe. Jeśli znajduje się w przedziale 20-40%, to mówi się o średnim zróżnicowaniu populacji. W przypadku 40-60% mamy do czynienia z dużym zróżnicowaniem.
Po obliczeniu odchylenia standardowego i średniej arytmetycznej, można również wyliczyć sobie tzw. współczynnik zmienności. W dużym uproszczeniu mówi się, że typowy obszar zmienności zawiera 2/3 badanej zbiorowości. Jest to uproszczenie dlatego, że uwzględnia niepisane założenie, że mamy do czynienia z rozkładem normalnym lub rozkładem zbliżonym do normalnego.
Dodam więcej. Jeśli nasze dane pochodzą z populacji o rozkładzie normalnym, to 68% zbiorowości zawiera się w odległości jednego odchylenia standardowego od średniej arytmetycznej. W odległości 2 odchyleń standardowych zawiera się 95,5% obserwowanych jednostek. Natomiast w odległości 3 odchyleń standardowych zawiera się 99,7% badanej populacji.
A co w sytuacji, kiedy wiemy, że nasza populacja nie ma nic wspólnego z rozkładem normalnym? Wtedy przyjmuje się trochę bardziej restrykcyjne warunki - wynikające z nierówności Czebyszewa.
Przypominamy, że we wszystkich powyższych przykładach średnie wynagrodzenie wynosi 5000 zł (liczone za pomocą średniej arytmetycznej). A my udowadniamy, że sama informacja o średnim wynagrodzeniu to za mało, żeby świadomie wybrać, w której firmie chcielibyśmy pracować.
W firmie „Wszystkim Równo” odchylenie standardowe wynosi dokładnie 0. W firmie „Szefo Górą” sytuacja jest zupełnie inna. Odchylenie standardowe wynosi 10.837,44 zł. Sporo, prawda? I wszystko za sprawą jednego kierowniczego wynagrodzenia. Współczynnik zmienności przekroczył tu 200%. 10.837,44/5000*100%=216%. A typowy obszar zmienności sięga aż ujemnych wynagrodzeń.
Wydaje mi się, że to dobry przykład, żeby unikać klasycznych miar zarówno położenia (średnia arytmetyczna), jak i zmienności (odchylenie standardowe) w sytuacjach, kiedy mamy do czynienia z dużymi wartościami skrajnymi. W przypadku „Byle do Awansu” odchylenie standardowe wynosi 2000 zł. No i jeszcze firma „Wielka Niewiadoma”. Tutaj odchylenie standardowe wynagrodzenia wynosi 2459,67 zł. Kolejna miara - kolejne informacje.
Odchylenie standardowe jest (a przynajmniej często powinno być) wykorzystywane w codziennym życiu. Jest uważane między innymi za miarę ryzyka w przypadku inwestycji. Jeśli na giełdzie jedna spółka przyniosła średni roczny zysk 4% a druga średni roczny zysk 5%, to wcale nie znaczy, że lepiej bez zastanowienia wybrać tę drugą spółkę. Pomijając analizę fundamentalną i analizę techniczną dla danej spółki, pomijając sytuację makroekonomiczną w kraju, warto spojrzeć na same wahania notowań. Jeśli wartość akcji pierwszej spółki w ciągu roku miała nieznaczne, kilkuprocentowe wahania, a drugiej wahała się o kilkadziesiąt procent, to logicznym jest, że inwestycja w pierwszą spółkę była dużo mniej ryzykowna. A żeby porównać różne stopy zwrotu i sprawdzić ich ryzykowność, można wykorzystać właśnie odchylenie standardowe.
Zauważmy również, że informacja o średniej rocznej temperaturze w danej miejscowości również niewiele nam powie. W Polsce mamy cztery pory roku, temperatury dość mocno różnią się między latem a zimą. Są natomiast kraje, w których temperatura nieznacznie się waha w ciągu roku. Nawet jeśli średnia roczna temperatura będzie porównywalna, to nie oznacza, że mówimy o takim samym klimacie.
Jakie zalety ma odchylenie standardowe? Przede wszystkim jest powszechnie stosowane, każdy zainteresowany wie, co to jest i skąd się wzięło. Odchylenie standardowe liczy się dość łatwo (pomimo tych okrutnych sum i pierwiastków we wzorze) i jeszcze łatwiej interpretuje. W statystyce wykorzystywane jest bardzo często. Jeśli tylko chcecie bliżej zaprzyjaźnić się ze statystyką, to chcąc nie chcąc musicie również zaprzyjaźnić się z odchyleniem standardowym. I musicie wybaczyć mu te kilka wad, które również posiada. A wśród nich najważniejsza jest ta, że zakłada symetryczność rozkładu. Odchylenie standardowe najlepiej liczy się wtedy, kiedy nasza badana populacja ma rozkład normalny (lub choć zbliżony do normalnego).
W poprzednich artykułach zwracaliśmy uwagę, jak ważne jest, by w analityce wynagrodzeń nie polegać jedynie na wskaźnikach tendencji centralnej, takich jak średnia czy mediana, ale by zwracać także uwagę na miary rozproszenia. Jako przykład takiej miary omówiliśmy odchylenie standardowe, dzięki któremu możemy dowiedzieć się, jak silnie wynagrodzenia skupiają się dookoła średniej arytmetycznej. Im odchylenie standardowe większe, tym rozproszenie wynagrodzeń dookoła średniej większe, natomiast im odchylenie niższe, tym wynagrodzenia skupione bliżej średniej.
odchylenie standardowe excel
Wszystkie podane w artykule stawki wynagrodzeń są kwotami brutto. Zawierają potrącane od pensji składki na ubezpieczenia społeczne, ubezpieczenie zdrowotne oraz zaliczkę na podatek dochodowy od osób fizycznych.
tags: #srednia #placa #odchylenie